RSS

Pertemuan 4

06 Apr

UKURAN PEMUSATAN

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat menyebutkan dengan benar :

  • Mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan data.
  • Mengartikan mean, median, modus dan dapat menghitungnya.
  • Mengartikan kuartil, desil, persentil dan dapat menghitungnya.
  • Menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan.
  • Memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran pemusatan.

Pendahuluan

            Meskipun data telah disusun ke dalam distribusi frekuensi, ternyata data yang disajikan itu belum dapat memberikan gambaran tentang variabel-variabel penelitian secara ringkas. Dalam banyak hal, pengumpulan data maupun penyusunan data ke dalam ke dalam distribusi frekuensi tidak semata-mata dibutuhkan bagi tujuan yang sedemikian sederhana yaitu memperoleh gambaran tentang jumlah data. Analisa mengenai perbandingan antara 2 kelompok hasil observasi, persoalan indeks, deret berkala, regresi dan sebagainya membutuhkan data untuk analisa yang bersifat lebih kompleks. Dalam hal demikian itu, pengumpulan data atau penyusunan data ke dalam distribusi frekuensi hanya merupakan tahap permulaan bagi analisa kuantitatif yang lebih lanjut.

Penyajian data ke dalam bentuk grafik juga bertujuan memberi gambaran yang jelas tentang suatu peristiwa kuantitatif secara visual.  Gambaran ringkas tentang variabel penelitian ini menjadi penting karena memungkinkan peneliti dengan mudah dan cepat dapat membaca dan menggambarkan keadaan suatu variabel penelitiah secara menyeluruh. Gambaran ringkas suatu variabel ini seringkali digunakan untuk membandingkan variabel satu dengan variabel lain. Gambaran ringkas tentang suatu variabel di peroleh dengan jalan menghitung ukuran kecenderungan memusat atau ukuran tendensi sentral (central tendency) atau sering disebut ukuran pemusatan data.

Definisi Ukuran Pemusatan

            Dalam beberapa hal, ahli statistik menganggap rata-rata (average) dapat merupakan nilai yang cukup representatif bagi penggambaran nilai-nilai yang terdapat dalam data yang bersangkutan. Rata-rata sedemikian itu dapat dianggap sebagai nilai sentral dan dapat digunakan sebagai pengukuran lokasi sebuah distribusi frekuensi. Namun demikian, apakah rata-rata tersebut cukup representatif bagi penggambaran nilai-nilai keseluruhan data itu sendiri sangat bergantung pada cara nilai-nilai itu sendiri bervariasi. Penilaian terhadap rata-rata berhubungan erat dengan variasi atau dispersi datanya dari mana rata-rata tersebut dihitung. Pada hakekatnya, pengertian tentang rata-rata itu sendiri cukup membi ngungkan bagi sebagian besar orang yang belum pernah mempelajari statistik. Bagi mereka, metode menghitung rata-rata hanya satu macam saja. Padahal, para ahli statistik mengenal berbagai macam rata-rata dengan nama yang khas pula.

Ukuran kecenderungan memusat merupakan suatu bilangan yang menunjukkan tendensi (kecenderungan) memusatnya bilangan-bilangan dalam suatu distribusi. Ukuran kecenderungan memusat juga dapat digunakan untuk merangkum data dan mendeskripsikan suatu kelompok variabel dengan cara mencari suatu angka (indeks) yang dapat mewakili seluruh kelompok tersebut. Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data (a set of data). Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai.

Dengan perkataan lain, ia mempunyai kecenderungan memusat, sehingga sering disebut ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency). Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan adalah rata-rata hitung (arithmetic mean atau sering disingkat mean saja), rata-rata ukur (geometric mean), dan rata-rata harmonis (harmonic mean). Setiap rata-rata tersebut selain mempunyai keunggulan juga memiliki kelemahan, dan ketepatan penggunaannya sangat bergantung pada sifat dari data dan tujuannya (misalnya untuk melakukan analisis). Dalam modul ini, yang dimaksudkan dengan rata-rata adalah rata-rata hitung, kecualai kalau ada keterangan atau penjelasan lain. Dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata ini lebih banyak dikenal.

Misalnya rata-rata gaji atau upah karyawan Perguruan Tinggi Raharja per bulan, rata-rata produksi beras per tahun, rata-rata harga beras per kilogram, rata-rata umur karyawan suatu departemen, rata-rata hasil penjualan televisi per minggu, rata-rata modal perusahaan nasional, rata-rata hasil ujian seorang mahasiswa, rata-rata permintaan kredit per nasabah dan lain sebagainya. Rata-rata hitung sering digunakan sebagai dasar perbandingan antara dua kelompok nilai atau lebih. Misalnya ada dua mahasiswa, yaitu Ageng dan Fadly dari Jurusan Sistem Komputer STMIK Raharja, yang menempuh ujian lima macam mata kuliah, yaitu: Matematika Diskrit, Kalkulus, Fisika, Statistik Deskriptif, dan Aljabar Linear. Untuk menentukan mana yang lebih pandai antara Ageng atau Fadly, dapat dipergunakan nilai rata-rata.

Rata-Rata Hitung atau Nilai Tengah (Mean)

            Rata-rata hitung atau nilai tengah, dengan lambing µ untuk populasi dan  untuk sampel, merupakan salah satu ukuran pemusatan. Karena sifat-sifatnya yang mudah untuk dipelajari, nilai tengah ini memegang peranan penting dalam statistik inferensial. Nilai tengah yang akan kita pelajari dapat dibedakan menjadi dua bagian, yaitu nilai tengah untuk data tunggal dan nilai tengah untuk data yang telah dikelompokkan dalam table distribusi frekuensi. Bila data sampel terdiri dari sejumlah nilai-nilai hasil pengamatan yang tidak terlalu besar, rata-rata hitungnya (arithmetic mean) dapat langsung dicari dari data yang besangkutan tanpa harus terlebih dahulu menyusunnya ke dalam distribusi frekuensi.

Mean  atau disebut juga dengan rata-rata adalah angka yang diperoleh dengan membagi jumlah nilai-nilai (X) dengan jumlah individu (N). Misalnya untuk membandingkan tingkat gaji atau upah per bulan karyawan perusahaan Unilever  dan perusahaan Argopantes, mana yang lebih tinggi, maka dapat dilakukan wawancara terhadap 10 karyawan perusahaan Unilever dan 10 karyawan perusahaan Argopantes. Kalau kita mempunyai nilai variable X, sebagai hasil pengamatan atau observasi sebanyak N kali, yaitu  ………., maka untuk menghitung rata-rata dapat digunakan  rumus berikut:

Dimana,         = mean     = jumlah nilai dalam distribusi

          = Number atau jumlah individu

Misalkan kita mendapatkan nilai sebagai berikut: 60, 50, 40, 30, 20, 10. Cara mencari mean dari data tersebut adalah dengan membuat sebuah tabel, seperti yang tampak pada tabel 3.1.

No

Individu

Nilai (X)

1

2

3

4

5

6

A

B

C

D

E

F

60

50

40

30

20

10

JUMLAH

210

Maka berdasarkan tabel tersebut didapatkan mean sebesar,

Rumus tersebut di atas hanya cocok untuk mencari mean dari data kasar atau suatu array, yang masing-masing skornya memiliki frekuensi 1. Jika frekuensi skor atau nilai di dalam suatu distribusi tidak sejenis atau heterogen, maka digunakan rumus baru, sebagai berikut.

Dimana  adalah jumlah nilai-nilai yang sudah dikalikan dengan frekuensi masing-masing.

Contoh dapat dilihat pada tabel 3.2.

Nilai (X)

Frekuensi (f)

fX

60

50

40

30

20

10

2

3

1

2

5

4

120

150

40

60

100

40

Jumlah

17

510

Berdasarkan data yang terdapat dalam tabel 10 tersebut akan didapatkan mean sebesar 30 dengan perhitungan sebagai berikut:

Contoh-contoh di atas hanya cocok untuk menghitung mean dari distribusi frekuensi tunggal.

 Apabila kita ingin menghitung mean dari distribusi kelompok pada hakekatnya tidak berbeda dengan menghitung mean dari distribusi frekuensi tunggal. Hanya saja nilai X tidak lagi mewakili nilai variabel individu, melainkan mewakili titik tengah interval. Setelah data kita susun dalam bentuk tabel frekuensi, maka kita dapat menentukan dan mencari ukuran pemusatan atau ukuran kecenderungan terpuast dari data tersebut. Ukuran pemusatan itu sendiri merupakan salah satu ukuran lokasi data, baik yang merupakan suatu populasi atau sampel.

Yang dimaksud data berkelompok di sini adalah data yang telah disederhanakan dalam bentuk tabel frekuensi. Berikut ini disajikan contoh bagaimana cara menghitung mean dari distribusi kolompok, yang disusun dalam tabel 3.3 berikut:

Interval Nilai

Titik tengah (X)

f

fX

28 – 32

23 – 27

18 – 22

13 – 17

8 – 12

3 – 7

30

25

20

15

10

5

5

2

4

3

6

3

150

50

80

45

60

15

Jumlah

23

400

Maka akan diperoleh mean sebesar:

Bila kita menggunakan tabel distribusi frekuensi kelompok seperti yang sudah kita bahas di dalam bab distribusi frekuensi maka mean dapat dihitung dengan menggunakan tabel 3.4 sebagai berikut.

Interval Nilai

Titik tengah (X)

f

fX

33 – 39

26 – 32

19 – 25

12 – 18

5 – 11

36

29

22

15

8

2

8

19

20

11

72

232

418

300

88

Jumlah

60

1110

Maka akan diperoleh mean sebesar:

Dua contoh perhitungan mean tersebut di atas adalah menggunakan rumus angka kasar. Apabila kita menghendaki penghitungan mean dengan cara lain dapat menggunakan rumus angka terkaan, dengan menggunakan rumus:

Keterangan :                Mean

                                     Mean terkaan

                                     Jumlah deviasi (penyimpangan)

kesalahan akibat tekanan

N        = jumlah individu

i          = lebar interval

Langkah-langkah untuk menghitung mean dengan menggunakan rumus angka terkaan:

  1. Menerka letak mean (boleh di sembarang interval) dan menjadikan titik tengahnya sebagai mean terkaan (MT). Misalnya pada tabel 12 kita meletakkan terkaan pada interval 19 – 25 maka MT = 22. Secara teoritis meletakkan MT dimana saja akan menghasilkan harga mean yang sama.
  1. Member status deviasi (x’) pada setiap interval, dengan ketentuan letak interval MT akan diberi harga 0, sedangkan interval diatas MT diberi tanda+ (plus) dengan angkadi urutkan mulai +1 sampai interval paling atas dari interval dibawah MT diberi tanda – (minus) dengan angka diurutkan dari -1 sampai interval terakhir.
  1. Mengalikan f dengan x’ dan mencari jumlah totalnya.
  1. Menghitung lebar interval (i) dan N.

Tabel 3.5

Interval Nilai

X

f

x’

fx’

33 – 39

26 – 32

19 – 25

12 – 18

5 – 11

36

29

22

15

8

2

8

19

20

11

+2

+1

0

-1

-2

4

8

0

-20

-22

Jumlah

60

-30

Diketahui,                               MT     = 22

                                     -30

                                    i           = 7

                                    N         = 60

Maka harga mean yang didapatkan sebesar:

Misalkan kita akan memindahkan MT pada interval yang lain, apakah harga mean yang diperoleh akan sama.

Tabel 3.6. Untuk Mencari Mean Dengan Rumus Angka Terkaan

Interval Nilai

X

f

x’

fx’

33 – 39

26 – 32

19 – 25

12 – 18

5 – 11

36

29

22

15

8

2

8

19

20

11

+3

+2

+1

0

-1

6

16

19

0

-11

Jumlah

60

30

Diketahui,                               MT     = 15

                                     30

                                    i           = 7

                                    N         = 60

Maka harga mean yang didapatkan sebesar:

Meskipun letak terkaanya dipindahkan, akan tetapi harga mean yang dihasilkan tetap sama. Cara dengan rumus angka terkaan ini dirasa lebih efisien dan efektif karena peneliti terhindar dari jumlah-jumlah angka yang besar, sehingga perhitungannya bisa dilakukan lebih cepat dan mudah bila dibandingkan dengan rumus angka kasar. Lebih-lebih kalau tidak tersedia mesin hitung.

Median (Mdn)

Median atau disebut juga rata-rata letak. Perhitungan median dapat dijelaskan, bahwa apabila ada sejumlah atau sekelompok data dan kemudian diurutkan mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, lalu dibagi menjadi dua kelompok; separuh termasuk kelompok tinggi dan separuhnya lagi termasuk kelompok rendah. Maka titik tengah yang memisahkan kedua kelompok tersebut diberi nama median. Dengan kata lain, median adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah-tengah data hasil observasi yang telah diurutkan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Untuk menentukan nilai median suatu data maka data pengamatan bergantung pada n, apakah n tersebut ganjil atau genap.

Untuk sebaran data yang terbatas jumlahnya, median dapat ditemukan dengan memeriksa urutan dan jumlah nilai atau sebagai berikut: 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10. Median dari data tersebut adalah 40 karena angka tersebut merupakan titik tengah yang dapat membagi secara sama nilai-nilai yang terletak dikelompok atas maupun kelompok bawah. Lebih terperinci lihat tabel berikut ini.

Tabel 3.7. Tabel untuk mencari median

No

Nilai (X)

1

2

3

4

5

6

7

70

60

50

40

30

20

10

Contoh di atas adalah untuk menghitung median dari distribusi frekunesi tunggal. Untuk menghitung median dari distribusi frekuensi kelompok digunakan rumus sebagai berikut:

Dimana:

                                      Median

                                      Batas bawah nyata dari interval yang

                                                   mengandung median

  frekuensi kumulatif di bawah interval

               Yang mengandung median

 frekuensi interval yang mengandung

             Median

I        =  lebar interval

N       = jumlah (frekuensi) individu dalam distribusi

Tabel 3.8.Tabel Untuk Mencari Median Pada Distribusi Frekuensi Kelompok

Interval Nilai

f

fk

28 – 32

23 – 27

18 – 22

13 – 17

8 – 12

3 – 7

5

2

4

(3) –

6

3

23

18

16

12

(9)

3

Jumlah

23

Langkah-langkah yang diperlukan untuk menghitung median adalah:

  1. Menemukan besar ½ N, yaitu ½ x 23 = 11,5.
  2. Menemukan letak 11,5 pada fk, dalam hal ini pada fk = 12 yang terletak pada interval 13 – 17.
  3. Menemukan batas bawah nyata interval 13 – 17, yaitu 12,5.
  4. Menemukan  yaitu fk yang berada dibawah interval 13 – 17, yaitu 9.
  5. Menemukan frekuensi pada interval 13 – 17, yaitu 3.
  6. Menemukan lebar interval (i) = 7.

Maka, bila dimasukkan dalam rumus akan diperoleh harga median sebesar:

Median 16,67 merupakan nilai variabel yang terdapat dalam interval kelas 13 – 17, dan menjadi batas antara 50% frekuensi distribusi kelompok atas dengan 50% frekuensi distribusi kelompok bawah yaitu 11,5 orang mendapat nilai atas 16,67 dan separuhnya lagi yaitu 11,5 orang dapat nilai di bawah 16,67. Misalkan kita akan menghitung median dari tabel yang sudah disajikan terdahulu.

Tabel 3.9.Tabel Untuk Mencari Median Pada Distribusi Frekuensi Kelompok

Interval Nilai

f

fk

33 – 39

26 – 32

19 – 25

12 – 18

5 – 11

2

8

19

(20)

11

60

58

50

31

(11)

Jumlah

60

Diketahui,  ½ N= ½ . 60 = 30,     = 20,   = 11,  = 11,5       i  = 7

maka nilai median adalah sebagai berikut:

Modus

Untuk menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul digunakan ukuran pemusatan data yang disebut modus. Tanpa disadari dalam percakapan sehari-hari sesungguhnya modu banyak digunakan untuk menen-tukan rata-rata dari data yang bersifat kualitatif. Ungkapan seperti Dian jarang masuk pada semester yang lalu merupakan ukuran modus. Begitu juga ungkapan, penyebab orang sakit paru-paru adalah karena merokok, merupakan ukuran pemusatan data dengan modus. Pada kasus pertama, jarang masuk merupakan modus, dan pada kasus kedua, karena merokok merupakan modus dari ungkapan tersebut.

Untuk data kuantitatif, modus adalah nilai data yang paling banyak muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi paling besar. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus, tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus. Artinya modus suatu kelompok data tidak selalu ada. Bila suatu kelompok data mempunyai modus, maka modusnya bisa lebih dari satu, atau dikatakan modusnya tidak tunggal. Berbeda dengan cara menentukan median, untuk menentukan modus suatu kelompok data, data tersebut tidak perlu diurutkan, tetapi bila data telah diurutkan akan sangat mempermudah menentukan modusnya.

  • Kelompok data: 3,4,4,5,6,8,8,8,9 mempunyai satu modus, yaitu 8.
  • Kelompok data: 3,4,4,6,8,8,9,10 mempunyai dua modus, yaitu 4 dan 8

Bila data telah dikelompokkan menjadi tabel distribusi frekuensi, maka modusnya dapat dihitung dengan rumus berikut:

Mod  =  L0 + c

Dimana: Mod  = modus

              L0      = batas bawah kelas modus

              C       = lebar kelas

              b1      = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat

                          satu kelas sebelum kelas modus.

              b2      = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat

                          satu kelas sesudah kelas madus.

Tabel 3.10 untuk menghitung modus pada distribusi frekuensi kelompok.

Interval Nilai

Frekuensi (f)

112 – 120

121 – 129

130 – 138

139 – 147

148 – 156

157 – 165

166 – 174

4

5

8

12

5

4

2

Jumlah

40

Menentukan dulu kelas interval yang mengandung modus, yaitu kelas interval yang mempunyai frekuensi terbesar. Pada tabel distribusi frekuensi tersebut, kelas interval 139 – 147 mempunyai frekuensi f = 12, dan merupakan frekuensi terbesar. Sehingga modusnya terletak pada kelas 139 – 147. Dengan demikian L0 = 138,5, c = 9, b1 = 12 – 8 = 4, dan b2 = 12 – 5 = 7. Jadi modusnya adalah:

Mod  =  138,5 + 9    =  138,5  + 3,27  =  141,77

Hubungan Antara Mean, Median, dan Modus

            Hubungan empiris antara nilai rata-rata hitung, median, dan modus ditentukan oleh kesimetrisan kurva distribusi data yang bersangkutan. Ada tiga kemungkinan untuk kesimetrisan kurva:

  • Pertama, jika nilai rata-rata hitung, median, dan modus berdekatan (hampir sama) satu sama lain, maka kurva dari data tersebut akan mendekati simetri.
  • Kedua, jika nilai modus lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari rata-rata hitung, maka kurva dari distribusi data akan miring atau menceng ke kanan.
  • Ketiga, jika sebaliknya, nilai rata-rata hitung lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka distribusi data akan miring atau menceng ke kiri.

            Pada kasus kedua, nilai modus paling kecil dan nilai rata-rata hitung paling besar, sedangkan pada kasus ketiga, sebaliknya, yaitu nilai rata-rata hitung paling kecil dan modus paling besar. Dalam hal distribusi data tidak simetri; miring ke kanan atau ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu: rata-rata hitung – modus = 3 (rata-rata hitung – median). Meskipun rata-rata hitung, median, modus, sama-sama merupakan ukuran pemusatan data, tetapi ternyata masing-masing dari mereka mempunyai kelebihan dan kekurangan yang disajikan pada tabel berikut:

Tabel 3.11. Kelebihan dan kekurangan mean, median, dan modus.

Ukuran Pemusatan

Kelebihan

Kekurangan

Mean

Mempertimbangkan semua nilai

Dapat menggambarkan mean populasi.

Variasinya paling stabil.

Cocok untuk data homogen.

Peka atau mudah terpengaruh oleh nilai ekstrim.

Kurang baik untuk data heterogen.

Median

Tidak peka atau tidak terpenga-ruh oleh nilai ekstrim.

Cocok untuk data heterogen

Tidak mempertimbangkan semua nilai.

Kurang dapat menggambarkan mean populasi.

Modus

Tidak peka atau tidak terpenga-ruh oleh nilai ekstrim.

Cocok untuk data homogen maupun heterogen.

Kurang menggambarkan mean populasi.

Modus bisa lebih satu.

 
Leave a comment

Posted by on April 6, 2012 in Statistik Deskriptif

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: