RSS

Pertemuan 2

06 Apr

DISTRIBUSI FREKUENSI

Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan memiliki kemampuan:

  • Dapat menyebutkan pengertian dan manfaat distribusi frekuensi.
  • Dapat menyusun distribusi frekuensi data kuantitatif.
  • Dapat menggambar grafik frekuensi, histogram dan polygon frekuensi.
  • Dapat menggambar grafik distribusi frekuensi relative dan distribusi frekuensi kumulatif.

Pengertian Distribusi Frekuensi

            Seringkali data yang telah terkumpul tersedia dalam jumlah yang besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri-cirinya. Oleh karena itu, data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data tersebut ke dalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui ciri-cirinya dan dapat dengan mudah di analisis sesuai dengan kepentingan kita. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam kelas yang disebut frekuensi kelas.

            Jadi untuk dapat memahami data dengan mudah, maka baik data kualitatif maupun data kuantitatif harus disajikan dalam bentuk yang ringkas dan jelas. Salah satu cara untuk meringkas data adalah distribusi frekuensi, yaitu pengelompokkan data ke dalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk ke dalam tiap kelas. Dengan kata lain, distribusi frekuensi merupakan suatu cara untuk meringkas serta menyusun sekelompok data mentah (raw data) yang diperoleh dari penelitian, dengan didasarkan pada distribusi (penyebaran) nilai variabel dan frekuensi (banyaknya) individu yang terdapat pada nilai variabel tersebut. Jadi distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Distribusi frekuensi digambarkan melalui yang disebut tabel distribusi frekuensi. Dari distribusi frekuensi, dapat diperoleh keterangan atau gambaran sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh.

DISTRIBUSI FREKUENSI DATA KUANTITATIF

            Definisi tentang distribusi frekuensi adalah sama baik untuk data kualitatif maupun kuantitatif. Meskipun demikian, kita harus lebih hati-hati dalam menentukan kelas yang digunakan pada distribusi frekuensi. Ada tiga hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kelas bagi distribusi frekuensi untuk data kuantitatif, yaitu jumlah kelas, lebar kelas, dan batas kelas.

Jumlah kelas

            Banyaknya kelas sebaiknya antara 7 dan 15, atau paling banyak 20. (Tidak ada aturan umum menentukan jumlah kelas). H.A. Sturges pada tahun 1926 menulis artikel dengan judul: “The Choice of a Class Interval” dalam Journal of the American Statistical Association, yang mengemukanan suatu rumus untuk menentukan banyaknya kelas sebagai berikut:

Di mana                       banyaknya kelas

                                     banyaknya nilai observasi

Rumus tersebut diberi nama Kriterium Sturges dan merupakan suatu perkiraan tentang banyaknya kelas. Misalnya, data dengan  maka banyaknya kelas  adalah sebagai berikut:

Jadi, banyaknya kelas sebaiknya 7.

Disarankan interval atau lebar kelas adalah sama untuk setiap kelas. Sebenarnya, pemilihan interval kelas dan jumlah atau banyaknya kelas tidak independen. Semakin banyak jumlah kelas berarti semakin kecil interval kelas dan sebaliknya.

            Pada umumnya, untuk menentukan besarnya kelas (panjang interval) digunakan rumus:

Di mana         perkiraan besarnya.                 banyaknya kelas

                   nilai observasi terbesar            nilai observasi terkecil

Batas Kelas

Batas kelas bawah menunjukkan kemungkinan nilai data terkecil pada suatu kelas. Sedangkan batas kelas atas mengidentifikasi kemungkinan nilai data terbesar dalam suatu kelas. Jika diketahui kelas-kelas interval adalah 30 – 39, 40 – 49, 50 – 59, dan seterusnya, maka untuk nilai batas bawahnya (lower limit) adalah 30, 40, 50, dan seterusnya. Sedangkan nilai batas atasnya (upper limit) adalah 39, 49, 59, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya lihat contoh 1.

               Perlu diperhatikan bahwa kelas interval 30 – 39, 40 – 49, dan seterusnya secara teoritis mencakup seluruh nilai interval 29, 5 – 39,5; 39,5 – 49,5, dan seterusnya. Nilai-nilai 29,5; 49,5 dan seterusnya disebut batas kelas atas yang sebenarnya (upper class boundary). Jarak batas kelas atas dan bats kelas bawah disebut juga dengan lebar atau  panjang kelas.

Contoh 1.

Suatu penelitian dilakukan oleh pejabat dari Badan Koordinasi Penanaman Modal (BKPM) terhadap 100 perusahaan. Salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya modal yang dimiliki perusahaan-perusahaan tersebut. Kalau X adalah modal dalam jutaan rupiah, maka nilai X adalah sebagai berikut:

75

80

58

80

86

76

65

75

76

72

86

83

82

88

68

66

63

60

69

80

66

87

73

58

76

74

85

96

60

72

86

79

95

84

41

76

87

74

74

56

50

80

66

96

80

68

79

73

72

73

78

77

60

87

40

82

77

87

76

82

66

81

84

72

63

59

76

52

57

78

79

92

80

65

90

75

74

98

64

45

68

57

79

79

83

35

76

88

67

75

60

52

65

80

94

34

78

64

58

56

Dari data tersebut buatlah tabel distribusi frekuensinya?.

Penyelesaian:

               Data di atas merupakan data mentah (raw data) yang belum dapat menjawab pertanyaan mengenai misalnya, berapa banyak perusahaan yang memiliki modal antara Rp30 – Rp39 juta dan berapa yang memiliki modal antara Rp90 – Rp99 juta. Kemudian berapa persen perusahaan yang modalnya Rp90 – Rp99 juta; kurang dari Rp79 juta, berapa rata-rata modal, dan lain sebagainya. Untuk menjawab pertanyaan pertama harus dibuat tabel frekuensi; untuk pertanyaan kedua harus dibuat frekuensi relative; untuk pertanyaan ketiga harus dibuat frekuensi kumulatif; sedangkan untuk pertanyaan terakhir mengenai besrnya rata-rata modal perusahaan harus dilakukan perhitungan guna meringkaskan data mentah tersebut (pengolahan data). Contoh tabel frekuensi adalah sebagai berikut:

Batas Kelas Modal (Jumlah Rp)

Nilai Tengah/Mean

(M)

Frekuensi

(f)

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 – 99

34,5

44,5

54,5

64,5

74,5

84,5

94,5

2

3

11

20

32

25

7

Jumlah

100

Dari tabel frekuensi data di atas, dapat diketahui bahwa ada dua perusahaan yang mempunyai modal antara Rp30 – Rp39 juta, tiga perusahaan yang mempunyai modal antara Rp40 – Rp49 juta, dan seterusnya.

               Walaupun tabel frekuensi memberikan cara penyajian yang sederhana, namun kita kehilangan keterangan yang terinci mengenai setiap kelompok (kelas, kategori) nilai. Misalnya, ada tujuh nilai yang terletak antara 90 – 99 yang besarnya kita tidak tahu, tetapi nilai-nilai itu dapat diwakili oleh suatu nilai tengah atau mean (=M), yang terletak di tengah-tengah antara 90 dan 99, yaitu  Uraian yang sama berlaku untuk kelas-kelas lainnya.

JENIS-JENIS DISTRIBUSI FREKUENSI

            Berdasarkan kriteria-kriteria tertentu, distribusi frekuensi dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu distribusi frekuensi biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif.

Distribusi Frekuensi Biasa

Distribusi frekuensi biasa adalah distribusi frekuensi yang hanya berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data atau kelas. Ada dua jenis distribusi frekuensi biasa, yaitu distribusi frekuensi numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori. Distribusi frekuensi numerik adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelasnya dinyatakan dalam angka. Contohnya adalah dalam tabel berikut:

Tabel 2.1. Pelamar Perusahaan “XYZ”, 1990

Umur (tahun)

Frekuensi

20 – 24

25 – 29

30 – 34

35 – 39

40 – 44

15

20

9

4

2

Jumlah

50

 

Distribusi frekuensi peristiwa atau kategori adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelasnya dinyatakan berdasarkan data atau golongan data yang ada. Contohnya adalah dalam tabel berikut:

Tabel 2.2. Hasil Pelemparan Dadu Sebanyak 30 Kali

Angka Dadu (X)

Banyaknya Persitiwa (f)

1

2

3

4

5

6

4

6

5

3

8

4

Jumlah

30

 

Distribusi Frekuensi Relatif

Sering seseorang membutuhkan tidak hanya distribusi frekuensi saja akan tetapi juga distribusi relatif atau persentase bagi masing-masing selang untuk memudahkan analisis datanta. Frekuensi relative masing-masing kelas diperoleh dengan membagi frekuensi kelas dengan frekuensi totalnya. Distribusi frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan yang terkandung dalam kumpulan data yang berdistribusi tertentu. Pada distribusi frekuensi relatif ini, frekuensi relatifnya dirumuskan:

Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk perbandingan desimal, ataupun persen. Tabel 2.3 yang memuat frekuensi relatif ini disebut distribusi frekuensi relative. Dan bila setiap frekuensi relative dikalikan dengan 100 persen akan diperoleh distribusi persentase.

Tabel 2.3. Distribusi Frekuensi Relatif

Interval Kelas

(Tinggi (cm))

Frekuensi

(Banyak Murid)

Frekuensi Relatif

Perbandingan

Desimal

Persen

140 – 144

2

0,4

4

145 – 149

4

0,08

8

150 – 154

10

0,20

20

155 – 159

14

0,28

28

160 – 164

12

0,24

24

165 – 169

5

0,10

10

170 – 174

3

0,06

6

Jumlah

50

1

1

100

Distribusi Frekuensi Kumulatif

            Dalam banyak hal, kita sering tertarik tidak saja pada banyaknya pengamatan dalam kelas tertentu, tetapi juga pada banyaknya pengamatan yang berada di bawah atau di atas sebuah nilai tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif. Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai batas kelas suatu interval tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif lebih dari adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai batas kelas suatu interval tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif memiliki grafik atau kurva yang disebut ogif. Pada ogif dicantumkan frekuensi kumulatif dan digunakan nilai batas kelas.

            Ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi kumulatif kurang dari. Ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. Untuk menggambarkan ogif diperlukan tabel distribusi frekuensi kumulatif. Prinsip yang digunakan untuk menggambarkan ogif hampir sama dengan prinsip untuk dapat  menggambarkan histogram dan polygon frekuensi. Sumbu datar dari ogif adalah menyatakan batas kelas dan sumbu tegak menyatakan frekuensi kumulatif. Perhatikan contoh berikut:

Tabel 2.4. Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari dan ogif kurang dari/ogif positif

Distribusi frekuensi Biasa

Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Tinggi (cm)

Frekuensi

Tinggi (cm)

Frekuensi Kumulatif

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

2

4

10

14

12

5

3

Kurang dari 140

Kurang dari 145

Kurang dari 150

Kurang dari 155

Kurang dari 160

Kurang dari 165

Kurang dari 170

Kurang dari 175

0 + 2

0 + 2 + 4

0 + 2 + 4 + 10

0 + 2 + 4 + 10 + 14

0 + 2 + 4 + 10 + 14 + 12

0 + 2 + 4 + 10 + 14 + 12 + 5

0 + 2 + 4 + 10 + 14 + 12 + 5 + 3

= 0

= 2

= 6

= 16

= 30

= 42

= 47

= 50

Gambar 2.1. Kurva distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Tabel 2.5. Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari dan ogif lebih dari / ogif negatif

Distribusi frekuensi Biasa

Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Tinggi (cm)

Frekuensi

Tinggi (cm)

Frekuensi Kumulatif

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

2

4

10

14

12

5

3

Lebih dari 140

Lebih dari 145

Lebih dari 150

Lebih dari 155

Lebih dari 160

Lebih dari 165

Lebih dari 170

Lebih dari 175

50 – 2

50 – 2 – 4

50 – 2 – 4 – 10

50 – 2 – 4 – 10 – 14

50 – 2 – 4 – 10 – 14 – 12

50 – 2 – 4 – 10 + 14 – 12 – 5

50 – 2 – 4 – 10 – 14 – 12 – 5 – 3

= 50

= 48

= 44

= 34

= 20

= 8

= 3

= 0

Contoh soal:

  1. Berikut ini adalah data 50 mahasiswa dalam perolehan nilai statistik pada Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer “Raharja” semester II tahun 2009.
70

79

35

81

74

91

49

83

70

73

93

48

73

74

68

82

74

71

97

72

78

81

43

95

85

70

95

86

80

57

71

87

68

53

65

92

80

92

71

93

38

80

93

77

83

56

84

76

63

86

  1. Berapa mahasiswa yang mendapat nilai antara 44 – 52 dan 80 – 88?
  2. Berapa % mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 dan 89 – 97?
  3. Berapa banyak mahasiswa yang nilainya kurang dari 44?

Berapa banyak mahasiswa yang nilainya kurang dari 71?

Jawab:

Untuk menjawab pertanyaan a diperlukan distribusi frekuensi, untuk menjawab pertanyaan b diperlukan distribusi frekuensi relatif dan untuk menjawab c diperlukan distribusi frekuensi kumulatif.

  1. Tabel distribusi frekuensi untuk data tersebut adalah sebagai berikut.

Tabel 2.6. Nilai Statistik 50 Mahasiswa STMIK “Raharja” Semester II.

Nilai

Frekuensi (f)

35 – 43

44 – 52

53 – 61

62 – 70

71 – 79

80 – 88

89 – 97

3

2

3

7

13

13

9

Jumlah

50

Banyaknya mahasiswa yang mendapat nilai antara 44 – 52 adalah 2 orang dan antara 80 – 88 adalah 13 orang.

  1. Tabel 2.7. Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Statistik 50 Mahasiswa STMIK “Raharja” Semester II Tahun 2009.

Nilai

Frekuensi (f)

Frekuensi Relatif (%)

35 – 43

44 – 52

53 – 61

62 – 70

71 – 79

80 – 88

89 – 97

3

2

3

7

13

13

9

6

4

6

14

26

26

18

Jumlah

50

100

Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 adalah 6% dan yang mendapat nilai antara 89 – 97 adalah 18%.

  1. Tabel 2.8. Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Nilai

Frekuensi Kumulatif

Nilai

 Kurang Dari

35 – 43

44 – 52

53 – 61

62 – 70

71 – 79

80 – 88

89 – 97

3

2

3

7

13

13

9

< 35

< 44

< 53

< 62

< 71

< 80

< 89

< 98

0

3

5

8

15

28

41

50

Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang dan kurang dari 71 adalah 15 orang.

  1. Berikut ini adalah mid point dari pengukuran 40 diameter pipa-pipa beserta frekuensinya.

Mid Point

Frekuensi

66

69

72

75

78

81

3

6

12

13

4

2

  1. Susunlah mid point tersebut ke dalam distribusi frekuensi biasa dan gambarkan histogram dan poligonnya!
  2. Buatlah distribusi frekuensi relatif!
  3. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari!

Jawab:

  • BAKi   = BBKi + (C – 1)

Dimana: C      = panjang interval kelas.  BAKi  = batas atas kelas ke-i

              BBKi = batas bawah kelas ke-I        i = 1, 2, 3, . . .

C                = 69 – 66 = 3

BAK1            = BBK1 + (3 – 1)

BAK1            = BBK1 + 2

Persamaan (2) disubtitusi pada Persamaan (1), didapat

BAK1            = 132 – BAK1 + 2

2BAK1         = 132 + 2

BBK1            = 132 – BAK1   = 132 – 67 = 65

Dengan cara yang sama (silahkan coba sendiri) diperoleh batas atas dan batas bawah masing-masing kelas, yaitu:

  • BAK2            = 70 dan BBK2 = 68
  • BAK3            = 73 dan BBK3 = 71
  • BAK4            = 76 dan BBK4 = 74
  • BAK5            = 79 dan BBK5 = 77
  • BAK6            = 82 dan BBK6 = 80
  1. Distribusi frekuensi biasanya adalah :

Tabel 2.9. Pengukuran Diameter 50 Pipa

Diameter

X

Frekuensi

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

66

69

72

75

78

81

3

6

12

13

4

2

Jumlah

40

Histogram dan polygon frekuensinya:

Gambar 2.2. Histogram dan polygon frekuensi pengukuran diameter 40 pipa

  1. Perhitungan frekuensi relatif

Tabel 2.10. Distribusi Frekuensi Relatif

Diameter

f

Frekuensi Relatif

Perbandingan

Desimal

Persen

65 – 67

3

0,075

7,5

68 – 70

6

0,15

15

71 – 73

12

0,30

30

74 – 76

13

0,325

32,5

77 – 79

4

0,10

10

80 – 82

2

0,05

5

Jumlah

40

1,000

100,0

  1. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari adalah sebagai berikut.

Tabel 2.11. Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Dan Lebih Dari

Diameter

Frekuensi Kumulatif

Nilai

Nilai

65 – 67

68 – 70

71 – 73

74 – 76

77 – 79

80 – 82

3

6

12

13

4

2

< 65

< 68

< 71

< 74

< 77

< 80

< 83

0

3

9

21

34

38

40

> 65

> 68

> 71

> 74

> 77

> 80

> 83

40

37

31

19

6

2

0

Keterangan:

<          = kurang dari

>          = lebih dari

  1. Berikut ini frekuensi relatif dari 65 orang karyawan STMIK “Raharja” Tangerang.

Umur (tahun)

Frekuensi Relatif

16 – 20

21 – 25

26 – 30

31 – 35

36 – 40

41 – 45

46 – 50

12,31

15,38

24,62

21,54

15,38

7,69

3,08

  1. Susunlah ke dalam distribusi frekuensi asalnya (distribusi frekuensi biasa) dan gambarkan histogram dan poligonnya!
  2. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari!

Jawab:

  1. Untuk membuat distribusi frekuensi asal, digunakan langkah sebagai berikut.

atau:

Tabel 2.12. Umur Karyawan STMIK “Raharja” Tangerang

Umur

X

Frekuensi

16 – 20

21 – 25

26 – 30

31 – 35

36 – 40

41 – 45

46 – 50

18

23

28

33

38

43

48

8

10

16

14

40

5

2

Jumlah

65

Histogram dan polygon frekuensinya ialah sebagai berikut.

Gambar 2.3. Histogram dan poligon frekuensi umur karyawan STMIK “Raharja” Tangerang.

  1. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari   adalah sebagai berikut.

Tabel 2.13. Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Dan Lebih Dari

Umur

Frekuensi Kumulatif

Nilai

Nilai

16 – 20

21 – 25

26 – 30

31 – 35

36 – 40

41 – 45

46 – 50

8

10

16

14

10

5

2

< 16

< 21

< 26

< 31

< 36

< 41

< 46

< 51

0

8

18

34

48

58

63

65

> 16

> 21

> 26

> 31

> 36

> 41

> 46

> 51

65

57

47

31

17

7

2

0

Keterangan:

<          =          kurang dari

>         =           lebih dari

  1. Distribusi frekuensi kumulatif dari upah harian (ratusan rupiah) 60 karyawan PT Unilever.

Upah Harian

Jumlah Karyawan

Kurang dari 25

Kurang dari 35

Kurang dari 45

Kurang dari 55

Kurang dari 65

Kurang dari 75

Kurang dari 85

Kurang dari 95

0

3

8

15

25

43

54

60

  1. Sajikan data tersebut ke dalam distribusi frekuensi biasa dan gambarkan histogram dan poligonnya!
  2. Buatkan distribusi frekuensi relatifnya!

Jawab:

Tabel 2.14. Upah Harian Karyawan PT Unilever

Upah Harian

Jumlah Karyawan

25 – 34

35 – 44

45 – 54

55 – 64

65 – 74

75 – 84

85 – 94

3

5

7

10

18

11

6

Jumlah

60

Histogram dan poligon frekuensi

 

Gambar 2.4. Histogram dan polygon frekueni upah harian karyawan PT Unilever

  1. Frekuensi relatif

Tabel 2.15. Distribusi Frekuensi Relatif

Upah harian

Frekuensi Relatif

Perbandingan

Desimal

Persen

25 – 34

3

0,05

5

35 – 44

5

0,083

8,3

45 – 54

7

0,117

11,7

55 – 64

10

0,167

16,7

65 – 74

18

0,30

30

75 – 84

11

0,183

18,3

85 – 94

6

0,10

10

Jumlah

60

1,000

100,0

 
Leave a comment

Posted by on April 6, 2012 in Statistik Deskriptif

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: